الرياضيات و الفن

فن الرياضيات ورياضيات الفن ..

جسرٌ بين الجمال والتجريد

ارتبطت الرياضيات منذ الأزل بالطبيعة والجمال والتناسق، فكما قال الفيثاغوريون إن كل شيء مرتب وفق العدد، وكما نادى آخرون أن جوهر الحقيقة الفيزيائية مرتبط بالعدد، وأن الجمال قائم على ركائز حسابية.

لماذا الربط مع الفنون؟

لطالما دعت المعايير العالمية في مجال تعليم الرياضيات إلى ضرورة إيجاد ترابطات للرياضيات مع مجالات أخرى خارج الرياضيات، وفي مقدمتها المنظمة القومية لمعلمي الرياضيات، ضمن وثيقتها لمبادئ ومعايير الرياضيات (NCTM, 2000) .

وفي عودة إلى الذكاءات المتعددة: حسب نظرية هاورد جاردنر، نرى أن الذكاء لا يقتصر على الذكاء الرياضي المنطقي فحسب، كما يتبادر إلى أذهان الكثيرين، وإنما يمتد ليشمل أنواعاً أخرى، منها الذكاء اللغوي، والجسمي الحركي، والطبيعي، والذاتي، والاجتماعي، والفراغي، والموسيقي، لذا من الضروري توظيف المجالات المختلفة التي تستحث ذكاءات مختلفة داخل الموضوع الدراسي الواحد، ومنه التصور الفراغي، والحس الموسيقي، وبالتالي قد تسهم أنواع أخرى من الذكاء كالذكاء الموسيقي في تنمية الجانب الرياضي عند الطالب عندما تصبح المادة ضمن ميوله واهتمامه.

إن إدراك جمال الرياضيات، وما للرياضيات من قدرة تكوين أنماط وتناسقات وعجائب، تجعل الرياضيات ليست مادة معرفية تركز على المجردات والنظريات والقوانين فحسب، بل موضوع حيوي ومحبب، ومثير للبحث والفضول. كما أن دمج مواضيع الرياضيات بالسياقات الفنية يساهم في إعطاء المعاني لبعض المواضيع الرياضية، ما يجعل تعلمها مبرراً ومحبباً عند الطالب، ويزيد من دافعية الطالب الداخلية نحو هذا التعلم.

 تطبيقات على الفن في الرياضيات

  

أ) جمال الرياضيات

متتالية فيبوناتشي والنسبة الذهبية (The Golden Ratio):

تتألف متتالية فيبوناتشي من الأرقام التالية: 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21، 34، 55، ... ونعرِّف متتالية فيبوناتشي، في شكل مبسَّط، بأنها متتالية الأرقام التي ينتج كلُّ رقم فيها عن مجموع الرقمين السابقين له، والتي حداها الأولان يساويان الواحد، ويقال إن دراسة توالد الأرانب وفق هذه المتتالية هو الذي أدى إلى اكتشافها.

أما النسبة الذهبية (Golden Ratio) وقيمتها التقريبية (1.618038)، فهي في شكل مبسَّط الطريقة الأكثر منطقية للقسمة غير المتناظرة، أي للقسمة إلى غير النصفين. فإذا كان لدينا طول قابل للقياس AC، فالنسبة الذهبية تمثل قسمته إلى طولين غير متساويين AB وBC، بحيث تكون نسبة الجزء الأكبر إلى الجزء الأصغر تساوي النسبة بين القطعة كلِّها AC وبين الجزء الأكبر، أي A÷B = A + B÷A. ويمكن الحصول عليها من متتالية فيبوناتشي من خلال قسمة عددين متتاليين في المتتالية، حيث تقترب هذه النسبة من النسبة الذهبية كلما تقدمنا في المتتالية (1÷1=1، 2÷1=2، 3÷2=1.5، 5÷3=1.6660000، 8÷5=1.6، 13÷8= 1.625، 13÷8 = 1.61538، ...). أما مستطيل فيبوناتشي فهو طريقة لتمثيل متتالية فيبوناتشي هندسياً، إذ نستطيع أن نحصل على متتالية فيبوناتشي إذا رسمنا مربعين متجاورين طول الضلع فيهما وحدة واحدة، ثم رسمنا مربعاً طول ضلعه 2 وحدة (1+1)، بحيث يكون منشأً على مربعين متجاورين، ثم نرسم مربعاً طول ضلعه 3 وحدات (2+1) منشأً على المربعين السابقين، .

وإذا رسمنا ربع دائرة في كل مربع على الترتيب، ينشأ عندنا شكل لولبي (حلزوني)، انظر الشكل المقابل. نلاحظ أن الشكل اللولبي المصنوع في مربعات المستطيل الذهبي تصنع خطوطاً من المركز تتزايد بمعامل النسبة الذهبية، أي أن النقاط على اللولب تكون على بعد 1.618 مرة عن المركز بعد ربع دورة.2

لقد تجاوزت الرياضيات اليوم مجرد كونها حقلاً للقياس أو للتطبيق الفيزيائي، كما تجاوزت المنهج الذي يقوم على النظرية والبرهان، بل تعدت ذلك لتربط تلك النظريات والمعارف الرياضية والتناسبات بقوانين الجمال وخصائصه، لتعطي للجمال ركيزة رياضية، ولتنفخ في الرياضيات روحاً جمالية، فإذا كانت الرياضيات بتناسباتها وأنساقها هي جمال، والجمال هو فن، تصبح الرياضيات فناً لا محالة ... .

ب) جمال الأرقام

أليس في الأرقام سحرٌ وجمالٌ، كيف؟

لقد اعتدنا أن تكون الأعداد لغةً ووسيطاً، بها نعد، وبها نحسب، وبها نعبر عن الكميات، وحاجتنا إليها لا تقل عن حاجتنا إلى اللغة والحروف والكلام. ولكن ثمة وظيفة أخرى يمكن أن تؤديها هذه الأرقام، وهي وظيفة تذوقية وجمالية، وذلك بأن تمارس سحرها الخاص، بأنماطها المدهشة (Posamentier, 2003)، دعونا ننظر إلى النماذج التالية التي اعتدنا أن نراها هنا وهناك، وبين الفينة والأخرى، فنتوقف عندها، ونتعجب، ونتذوق، ونفكر... .

1 x 8 + 1 = 9
12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 98765
123456 x 8 + 6 = 987654
1234567 x 8 + 7 = 9876543
12345678 x 8 + 8 = 98765432
123456789 x 8 + 9 = 987654321

1 x 9 + 2 = 11
12 x 9 + 3 = 111
123 x 9 + 4 = 1111
1234 x 9 + 5 = 11111
12345 x 9 + 6 = 111111
123456 x 9 + 7 = 1111111
1234567 x 9 + 8 = 11111111
12345678 x 9 + 9 = 111111111
123456789 x 9 +10= 1111111111

9 x 9 + 7 = 88
98 x 9 + 6 = 888
987 x 9 + 5 = 8888
9876 x 9 + 4 = 88888
98765 x 9 + 3 = 888888
987654 x 9 + 2 = 8888888
9876543 x 9 + 1 = 88888888
98765432 x 9 + 0 = 888888888

1 x 1 = 1
11 x 11 = 121
111 x 111 = 12321
1111 x 1111 = 1234321
11111 x 11111 = 123454321
111111 x 111111 = 12345654321
1111111 x 1111111 = 1234567654321
11111111 x 11111111 = 123456787654321
111111111 x 111111111 = 12345678987654321

عند تعريض الطالب لمثل هذه النماذج ودعوته للتأمل في أنماطها التي تثير الدهشة والتعجب، وحثه على البحث واستكشاف نماذج أخرى، ضمن نشاطات في قلب المحتوى الرياضي وعلى هامشه، فإننا نغرس فيه حساً تذوقياً جمالياً، وأيضاً داعياً للتفكير من خلال اكتشاف النمط ومحاولة تفسير السبب الرياضي الذي يكمن وراء سحر هذه الأرقام.

فن الاسلامي و الرياضيات :

إلى أمد غير بعيد نسبيا، كانت الفنون التشكيلية الإسلامية تعتبر ، من وجهة الغرب خاصة ، فنونا تزويقية. و قد كانت بذالك مصنفة ضمن الفنون" الدنيا " (Arts mineurs) التي لا يمكن أن تضاهي أو تقارن بالفنون الأوروبية السامية (Arts majeurs) كالنحت و التصوير. غير أن الثورة الصناعية التي عاشتها أوروبا في أواخر القرن العشرين ولدت الكثير من التحولات و غيرت العديد من المفاهيم و أصبحت الفنون غير الأوربية محور اهتمام من منطلقات جديدة أدت إلى سقوط المعتقدات الداعية إلى تفوق الحضارة الأوروبية على الحضارات الأخرى و إلى الدعوة إلى إعادة الاعتبار إلى القيم الحضارية غير الأوروبية. و من الأوروبيين الذين اهتموا اهتماما خاصا بالفنون الإسلامية هناك حتما الكثير من الفنانين التشكيليين، نذكر منهم على سبيل المثال بول كلي و ماتيس و فازارللي و إيشار ... و هناك كذلك بعض المختصين في علوم الرياضيات الذين حاولوا من وجهة نظرهم دراسة الفنون الإسلامية أو بعض جوانب تلك الفنون و منها التكوينات المنتظمة . نعني بالتكوينات المنتظمة تلك التي تولد بالتكرار داخل حيز لا متناهي و غير محدود .

نماذج